:نتوين شور شور هدمع لکشم

Transcript

1 عددی آناليز جلسه چھارم حل معادلات غير خطي

2 عمده روش نيوتن: مشکل f ( x را در f ( x و برای محاسبه ھر عضو دنباله باید ھر مرحله محاسبه کرد. در روشھای جایگزین تقریبی f ( x x + = x f جایگزین میکنم کنيم. ( x مشتق به جای از حل اول: راه (روش استفنسن همگرا از مرتبه f ( x + f( x f( x f ( x fx ( fx ( + fx ( fx ( 87//4

3 Secat حلل راه دوم: ومم شوش رو خطط قاطع وتري- (وتري fx ( fx ( f ( x x x x f( x xf( x x + = fx ( fx ( x x i i x 3 i x i ( و α قضيه: باشد ساده ريشه يك پيوسته تابع f اگر f اگر آنگاه ( α نقاط x, آغازين x نزديك كافي اندازه به باشد به α روش وتري به α همگرا از مرتبه حداقل عدد طلايي توليد دب دنباله است. + شده در 5 87//4 3

4 e = x α اثبات: ب fx ( fx ( e+ = e = e fx ( fx ( f ( y fx ( ef = ( α + Oe ( x x ef ( α + Oe ( f ( y f ( α + Oe ( = e = e f ( y f ( y ( y α f ( z + O ( e = e y max { e, e } e e f ( y α + e + < Mδ e e e ( e + e M lim e = + اگر e, e < δ و < Mδ آنگاه e < δ براي هر و بنابراين 87//4 4

5 fx = cos x ريشه xe مثال:, ( تا چهار رقم اعشار ريشه cos x ( در بازه x f ( x //4 5

6 تکراری روشھای x + = F ( x بازگشتی صورت به دنباله توليد α = F( ( α آنگاه باشد ھمگرا α به دنباله این اگر یعنی α ثابت نقطه است.

7 انقباضی نگاشت <λ< نگاشت F انقباضی است اگر ثابت وجود داشته باشد که Fx ( Fy ( < λ x y مناسب برای نگاشت انقباضی محک F ( x < 87//4 7

8 نقطه ثابت باناخ قضيه اگر I یک زیر مجموعه بسته از اعداد حقيقی باشد و یک F باشد آنگاه انقباضی نگاشت یک F : I I نقطه ثابت منحصر به فرد دارد. به عالوه این نقطه ثابت حد دنباله زیر برای ھر نقطه xاست. آغازین ( x + = F( x 87//4 8

9 x = 5 x + = 3 x لال مثال: ث دنباله گا زير همگرا بازگشتي است. ا Fx ( = 3 x Fx ( Fy ( x y 87//4 9

10 π ta x = x + بازه درر معادله جواب مثال: آورد. دست بهه (, ta x x به صورت را معادله اگر = tax f ( x = در نظر بگيريم x f ( x = + ta x > زيرا نيست. انقباضي تابع f را (, π بازه g g ( x = < 4 + ( x + 5 تابع خودش به x + gx ( = ta ( = اگر اما اا است. انقباضي بازه اين در و كند تصوير مي x x //4

11 خطا تحليل e = x α e+ = F( x F( α = F ( y e F ( α اگر e + li m = F ( α e ( m ( m F ( α, F ( α = = F ( α = اگر e + = F ( x F ( α = F ( α + e F ( α m ( m m ( m ef ( α ef = + ( α + + e F ( α + ef ( z ( m! m! m ( m = e F ( z m! e + ( m lim = F ( α m e m! 87//4

12 f ( x Fx ( = x F( α = α, f( α = f ( x fxf ( ( x F ( x = F ( α = f ( x f ( α F ( α = f ( α مثال: همگرايي روش نيوتن مثال از مرتبه همگرايي حداقل 87//4

13 مثال: ميل كرد ون ميتوان به با كداميك از توابع زير با روش تكراري نقطه ثابت سريعتر x + g( x =, g( x = ( x + x + x g ( g ( = همگرايي خطي همگرايي از مرتبه حداقل k g ( x k g ( x k //4 3

14 و ر ر ر ز ش م = α f ( چگونه سرعت ھمگرایی را افزایش دھيم: اگر( α f معلوم و مخالف صفر باشد fx ( = fx ( + λx= λx f ( x + λx f ( x + gx ( = g ( x = λ λ λ f = λ همگرايي حداقل از مرتبه خواهد بود. اگر α ( 87//4 4

15 معلوم نباشد f ( α ر اگر f ( x = x f( x φ( x = x G ( x = x f ( x φ ( x G ( x = f ( x φ ( x f ( x φ ( x G ( α = f ( α φ( α = (x φ ( همان روش نيوتن است و همگرايي حداقل اگر = f ( x مرتبه ازمته. بنابراين روش نيوتن يكي از بهينه ترين روشها براي ريشه يابي است. 87//4 5

16 f ( xy, = f (, x y = معادالت غير خطی دستگاه y ( x, تقريب اوليه جواب +Δy ( x +Δ x, y تقريب بعدي = f( x +Δ x, y +Δ y = f( x, y +Δx xf+δy yf = f ( x +Δ x, y +Δ y = f ( x, y +Δx f +Δy f x y xf yf Δx f( x, y J J = = xf yf y f ( x, y Δ X X F X = ( F ( X m+ + m m m 87//4 6

17 مثال xy z xy z = + xyz + y = x + F( x, y, z = xyz + y x x y x y e + z = e + 3 e + z e 3 y x z F (,, x y z = yz x xz + y xy x y e e x y z //4 7

18 محاسبه پيچيدگی 87//4 8

19 ریشه چندجملهای::ی محاسبه pz ( = az + + az+ a كاهش پيچيدگي محاسبه در روش نيوتن نحوه محاسبه براي p x p ( x در هر مرحلهب بسيار موثرات است. px و ( مقادير px 87//4 9

20 هورنر الگوريتم اصلي تجزيه حول نقطه z ايده pz ( = ( z z( b z + + b + pz ( b = a, b = a + zb,, b = a + zb, p ( z = a + z b p a a a a + zb zb zb b b b p( z 87//4

21 مثال: 4 3 p ( 3 =? p( z = z 4z + 7z 5z ل //4

22 ((محاسبه( ( p ( z هورنر الگوريتم p z pz ( = ( z z qz ( + pz ( p ( z = qz ( qz ( = b z + + b a a a a a z b z b z b z b b b b b p( z zc zc zc c c c q( z 3 87//4

23 :(Bairstow Bairstow بيرستو روشبير چندجملهاي با ضرايب يي حقيقي را پيدا ميكند ريشههاي مختلط يك (روش نيوتن براي چندجمله اي مختلط همگرا است. همچنين به ريشه مختلط يك چندجمله اي حقيقي همگرا است اگر w يك ريشه مختلط چندجمله اي ( pz باشد w نيز ريشه است uv مقادير حقيقي و چندجمله اي بر عبارت زيرب بخشپذير است كه, هستند. ( z w( z w = z uz v, u = w + w, v = w 87//4 3

24 تقسيم مي كنيم بايد باقيمانده برابر z uz را بر v pz ( صفر باشد. pz ( = ( z uz vq ( z + b ( z u + b pz ( = az + + az + a اگر q( z = b z + + b z + b و q( 3 آنگاه ak = bk ub k+ vb k+ k a = b ub a = b 87//4 4

25 uv در, b buv,(, به صورت تابعي از (, در اين صورت ضرايبuv مي آيد و براي پيدا كردن ريشه دستگاه معادلات زير را به (, روش نيوتن حل مي كنيم. b u v = buv (, = b b b b,,, u v u v براي اين منظور بايد مشتقات جزيي را محاسبه كنيم. 87//4 5

26 c k b b k k, dk = = u v a = b c = d+ = a = b ub c = b, d = ak = bk ubk+ vbk+ k = ck bk+ uck+ vck+ = d ud b vd k+ k+ k+ k+ 3 c = b + uc + vc d = b + ud + vd k k+ k+ k+ k k+ k+ k+ ھر دو یک دنباله را توليد می کنند c k = d k 87//4 6

27 b (, u v = buv (, = b b b (, u v + Δ u + Δ v = u v b b buv (, + Δ u+ Δ v= u v وي اوليهجوب جواب uv تقریب, J b b u v c c Δu b =, J b b = = c c Δv b u v 87//4 7